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abstract引言变限积分变上限积分变下限积分基本性质
微积分第一基本定理定积分与不定积分的关系证明原函数存在定理拓展
应用和例微积分第二基本定理及其应用
abstract
使用定积分的定义计算积分通常是困难而且不方便的,为此,我们需要寻求新的方法,即微积分基本公式(定理)
微积分第一基本定理是关于变上限积分(积分上限函数)的结论,作为第二基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)的基础通常微积分基本定理指的是第二基本定理,微积分基本公式为Newton-Leibniz公式 本文介绍:微积分第一基本定理@积分上限的函数及其导数@原函数存在定理
引言
变速直线运动中位置函数和速度函数之间的联系
物体在时间间隔
[
T
1
,
T
2
]
[T_1,T_2]
[T1,T2]内经过的路程可以用速度函数
v
(
t
)
v(t)
v(t)在
[
T
1
,
T
2
]
[T_1,T_2]
[T1,T2]上的定积分
f
T
1
T
2
v
(
t
)
d
t
f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t
fT1T2v(t)dt来表示另一方面,这段路程又可以通过位置函数
s
(
t
)
s(t)
s(t)在区间
[
T
1
,
T
2
]
[T_1,T_2]
[T1,T2]上的增量
s
(
T
2
)
−
s
(
T
1
)
s(T_2)-s(T_1)
s(T2)−s(T1)来表达 可见,
s
(
t
)
s(t)
s(t)和
v
(
t
)
v(t)
v(t)之间满足
f
T
1
T
2
v
(
t
)
d
t
f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t
fT1T2v(t)dt=
s
(
T
2
)
−
s
(
T
1
)
s(T_2)-s(T_1)
s(T2)−s(T1);并且
s
′
(
t
)
s'(t)
s′(t)=
v
(
t
)
v(t)
v(t),(
v
(
t
)
=
d
s
d
t
v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}
v(t)=dtds)这就是说,速度
v
(
t
)
v(t)
v(t)在区间
[
T
1
,
T
2
]
[T_1,T_2]
[T1,T2]上的定积分等于
v
(
t
)
v(t)
v(t)的原函数
s
(
t
)
s(t)
s(t)在区间
[
T
1
,
T
2
]
[T_1,T_2]
[T1,T2]上的增量
s
(
T
2
)
−
s
(
T
1
)
s(T_2)-s(T_1)
s(T2)−s(T1)由特殊性体现一般性,可以猜测该结论在一定条件下具有普遍性,并尝试给出证明
变限积分
变上限的定积分和变下限的定积分称为变限积分
变上限积分
变上限积分,即积分上限函数,所谓积分上限函数,就是自变量位于定积分的积分上限位置设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上可积,对
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b],
f
(
x
)
f(x)
f(x)在含变量
x
x
x的区间
[
a
,
x
]
[a,x]
[a,x]上可积
函数
G
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t
G(x)=∫axf(t)dt,
(
x
∈
[
a
,
b
]
)
(x\in[a,b])
(x∈[a,b])(1)定义了一个以
x
x
x为自变量的函数,称为变上限的定积分一般地,积分上限函数可以表示为式(1) Notes
字母
t
t
t不是积分上限的函数
G
G
G的自变量,而是被积函数的自变量,式(1)所示的积分上限的函数
G
G
G的自变量是
x
x
x
x
x
x或
x
x
x的函数
g
(
x
)
g(x)
g(x)(不含
t
t
t)的,相对于
f
(
t
)
f(t)
f(t)都是常数,在计算定积分时可以提出到积分号外 变上限积分函数是的产生方式依赖于定积分,比一般的初等函数要抽象一些
初等函数在其定义域区间内是连续的,其原函数一定存在,但原函数却不一定仍然是初等函数,例如
sin
x
2
\sin{x^2}
sinx2,该函数原函数存在却积不出(不是初等函数)变上限积分函数可能不是初等函数
变下限积分
类似于变上限的定积分,变下限的定积分
G
(
x
)
=
∫
x
b
f
(
t
)
d
t
G(x)=\int_{x}^{b}f(t)\mathrm{d}t
G(x)=∫xbf(t)dt,
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b](2)可以将变下限积分转换为变上限积分进行研究:由定积分的补充约定,有
∫
x
b
f
(
t
)
d
t
\int_{x}^{b}f(t)\mathrm{d}t
∫xbf(t)dt=
−
∫
b
x
f
(
t
)
d
t
-\int_{b}^{x}f(t)\mathrm{d}t
−∫bxf(t)dt
基本性质
∫
a
x
g
(
x
)
f
(
t
)
d
t
\int_{a}^{x}g(x)f(t)\mathrm{d}t
∫axg(x)f(t)dt=
g
(
x
)
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
g(x)\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t
g(x)∫axf(t)dt
因为
g
(
x
)
g(x)
g(x)相对于被积函数是常数 例如
F
(
x
)
=
∫
0
x
(
x
2
−
3
t
2
)
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_{0}^{x}(x^2-3t^2)f(t)\mathrm{d}t
F(x)=∫0x(x2−3t2)f(t)dt,则
F
(
x
)
=
x
2
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=x^2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t
F(x)=x2∫0xf(t)dt-
3
∫
0
x
t
2
f
(
t
)
d
t
3\int_{0}^{x}t^2f(t)\mathrm{d}t
3∫0xt2f(t)dt
微积分第一基本定理
揭示不定积分和定积分的关系,讨论变上限积分函数的导数(积分上限的函数及其导数)
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续,积分上限的函数
G
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}
G(x)=∫axf(t)dt,在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上可导,且
G
′
(
x
)
G'(x)
G′(x)=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}=f(x)
dxd∫axf(t)dt=f(x),
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b](1)
定积分与不定积分的关系
上述定理表明,连续函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)取变上限
x
x
x的定积分,然后求导,结果还原为
f
(
x
)
f(x)
f(x)本身
G
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}
G(x)=∫axf(t)dt是
f
(
x
)
(
x
∈
[
a
,
b
]
)
f(x)(x\in[a,b])
f(x)(x∈[a,b])的一个原函数
区间上积分上限的函数的导数为被积函数
∫
f
(
x
)
d
x
\int f(x)\mathrm{d}x
∫f(x)dx=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
+
C
\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t+C
∫axf(t)dt+C,
(
x
∈
[
a
,
b
]
)
(x\in[a,b])
(x∈[a,b])
证明
可以分为三个部分进行证明:
区间内部
x
∈
(
a
,
b
)
x\in(a,b)
x∈(a,b)区间左边界
x
=
a
x=a
x=a区间右边界
x
=
b
x=b
x=b 若
x
∈
(
a
,
b
)
x\in(a,b)
x∈(a,b),且
x
+
Δ
x
∈
(
a
,
b
)
x+\Delta{x}\in(a,b)
x+Δx∈(a,b)
记:
Δ
G
(
x
)
=
G
(
x
+
Δ
x
)
−
G
(
x
)
\Delta{G(x)}=G(x+\Delta{x})-G(x)
ΔG(x)=G(x+Δx)−G(x)
=
∫
a
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}-{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}
∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=
∫
a
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
+
∫
x
a
f
(
t
)
d
t
{\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t} +{\int_{x}^{a}f(t)\mathrm{d}t}
∫ax+Δxf(t)dt+∫xaf(t)dt=
∫
x
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}
∫xx+Δxf(t)dt 由定积分中值定理:
区间
[
x
,
x
+
Δ
x
]
[x,x+\Delta{x}]
[x,x+Δx]上存在一点
ξ
\xi
ξ,使得:
Δ
G
(
x
)
\Delta{G(x)}
ΔG(x)=
∫
x
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}
∫xx+Δxf(t)dt=
f
(
ξ
)
Δ
x
f(\xi)\Delta{x}
f(ξ)Δx
1
Δ
x
Δ
G
(
x
)
\frac{1}{\Delta{x}}\Delta{G(x)}
Δx1ΔG(x)=
1
Δ
x
∫
x
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
\frac{1}{\Delta{x}}{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}
Δx1∫xx+Δxf(t)dt=
f
(
ξ
)
f(\xi)
f(ξ)
Δ
x
→
0
\Delta{x}\to{0}
Δx→0时,
x
+
Δ
x
→
x
x+\Delta{x}\to{x}
x+Δx→x.又因为
ξ
∈
[
x
,
x
+
Δ
x
]
\xi\in{[x,x+\Delta{x}]}
ξ∈[x,x+Δx],则
ξ
→
x
(
Δ
x
→
0
)
\xi\to{x}(\Delta{x}\to{0})
ξ→x(Δx→0)
由导数的定义(极限),将
ξ
\xi
ξ视为变量,
G
′
(
x
)
G^{'}(x)
G′(x)=
lim
Δ
x
→
0
Δ
G
(
x
)
Δ
x
\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{G(x)}}{\Delta{x}}
Δx→0limΔxΔG(x)=
lim
ξ
→
x
f
(
ξ
)
\lim\limits_{\xi\to{x}}f(\xi)
ξ→xlimf(ξ)=
f
(
x
)
f(x)
f(x)
由于
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]内是连续的,
[
x
,
x
+
Δ
x
]
⊂
(
a
,
b
)
[x,x+\Delta{x}]\sub(a,b)
[x,x+Δx]⊂(a,b)自然也是连续的
根据一元连续函数的性质,那么有
lim
ξ
→
x
f
(
ξ
)
=
f
(
x
)
\lim\limits_{\xi\to{x}}f(\xi)=f(x)
ξ→xlimf(ξ)=f(x)
G
′
(
x
)
G'(x)
G′(x)=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)
dxd∫axf(t)dt=f(x),
(
x
∈
(
a
,
b
)
(x\in(a,b)
(x∈(a,b),即结论成立
进一步分类讨论:
x
=
a
x=a
x=a,取
Δ
x
>
0
\Delta{x}>0
Δx>0;可以得到右导数
G
+
′
(
a
)
=
f
(
a
)
G'_+(a)=f(a)
G+′(a)=f(a);
x
=
b
x=b
x=b,取
Δ
x
<
0
\Delta{x}<0
Δx<0;左导数:
G
−
′
(
b
)
=
f
(
b
)
G'_-(b)=f(b)
G−′(b)=f(b),从而得到
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
G'(x)=f(x)
G′(x)=f(x)
原函数存在定理
由微积分第一基本定理,容易引出连续函数的原函数存在定理
定理:
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续,则函数
G
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}
G(x)=∫axf(t)dt就是
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上的一个原函数
即
G
(
x
)
′
G(x)'
G(x)′=
f
(
x
)
f(x)
f(x),
(
x
∈
[
a
,
b
]
)
(x\in[a,b])
(x∈[a,b]);
∫
f
(
x
)
d
x
\int{f(x)\mathrm{d}x}
∫f(x)dx=
G
(
x
)
+
C
G(x)+C
G(x)+C;注意积分下限为闭区间左端点,积分上限为变量
x
x
x Note:
来连续函数的原函数一定存在,并解释了(变上限)定积分与原函数之间的关系,暗示我们可以有可能通过原函数来计算定积分
拓展
如果
f
(
x
)
f(x)
f(x)在区间
D
=
[
a
,
b
]
D=[a,b]
D=[a,b]上除了点
x
=
x
0
∈
(
a
,
b
)
x=x_0\in(a,b)
x=x0∈(a,b)外均连续,而在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0处
f
(
x
)
f(x)
f(x)有跳跃间断点(即
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处的左右极限都存在但不相等:
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
f
(
x
0
−
)
\lim\limits_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})
x→x0−limf(x)=f(x0−),
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
+
)
\lim\limits_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+})
x→x0+limf(x)=f(x0+),
f
(
x
0
−
)
≠
f
(
x
0
+
)
f(x_0^{-})\neq{f(x_0^{+})}
f(x0−)=f(x0+))
令
F
(
x
)
=
∫
c
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\mathrm{d}t
F(x)=∫cxf(t)dt,
c
∈
[
a
,
b
]
c\in[a,b]
c∈[a,b],
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b]则有结论
F
(
x
)
在
[
a
,
b
]
F(x)在[a,b]
F(x)在[a,b]上连续
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
x
≠
x
0
F'(x)=f(x),x\in[a,b],x\neq{x_0}
F′(x)=f(x),x∈[a,b],x=x0
F
−
′
(
x
0
)
=
f
(
x
0
−
)
,
F
+
′
(
x
0
)
=
f
(
x
0
+
)
F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^{+})
F−′(x0)=f(x0−),F+′(x0)=f(x0+),即,间断点
x
0
x_0
x0处原函数的左导数等于
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0的左极限,原函数右导数等于
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0右极限 例,分段函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
sin
x
\sin{x}
sinx,
(
x
⩽
0
)
(x\leqslant{0})
(x⩽0);
f
(
x
)
=
e
x
f(x)=e^{x}
f(x)=ex,
(
x
>
0
)
(x>0)
(x>0),我们研究其在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infin,+\infin)
(−∞,+∞)区间上的原函数性质
任取
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infin,+\infin)
(−∞,+∞)中的某点
c
c
c,不妨取
c
=
−
π
c=-\pi
c=−π,并记
F
(
x
)
F(x)
F(x)=
∫
−
π
x
f
(
t
)
d
t
\int_{-\pi}^{x}f(t)\mathrm{d}t
∫−πxf(t)dt由分段函数的积分:
F
(
x
)
F(x)
F(x)
=
∫
−
π
x
sin
t
d
t
\int_{-\pi}^{x}\sin{t}\mathrm{d}t
∫−πxsintdt=
−
cos
x
∣
−
π
x
-\cos{x}|_{-\pi}^{x}
−cosx∣−πx=
−
[
cos
]
−
π
x
-[\cos]_{-\pi}^{x}
−[cos]−πx=
−
(
cos
x
+
1
)
-(\cos{x}+1)
−(cosx+1)=
−
cos
x
−
1
-\cos{x}-1
−cosx−1,
(
x
⩽
0
)
(x\leqslant{0})
(x⩽0)=
∫
−
π
0
sin
t
d
t
\int_{-\pi}^{0}\sin{t}\mathrm{d}t
∫−π0sintdt+
∫
0
x
e
t
d
t
\int_{0}^{x}e^{t}\mathrm{d}t
∫0xetdt=
[
−
cos
x
−
1
]
∣
x
=
0
[-\cos{x}-1]|_{x=0}
[−cosx−1]∣x=0+
e
x
∣
0
x
e^{x}|_{0}^{x}
ex∣0x=
−
2
-2
−2+
e
x
−
1
e^{x}-1
ex−1=
e
x
−
3
e^{x}-3
ex−3,
(
x
>
0
)
(x>0)
(x>0)显然
F
(
x
)
F(x)
F(x)在两个区间内各自连续,且在
x
=
0
x=0
x=0处连续,因为
F
(
0
−
)
F(0^{-})
F(0−)=
F
(
0
+
)
F(0^{+})
F(0+)=
F
(
0
)
F(0)
F(0),因此
F
(
x
)
F(x)
F(x)在
(
−
∞
,
∞
)
(-\infin,\infin)
(−∞,∞)上连续
应用和例
另见应用实例
微积分第二基本定理及其应用
微积分第二基本定理